To kentrikì oriakì prìblhma gia logarijmikˆ koðla mètra pijanìthtac

To kentrikì oriakì prìblhma gia logarijmikˆ koðla mètra pijanìthtac Diplwmatik ErgasÐa Lamprin Qi nh Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 13

Perieqìmena 1 Περιγραφή της εργασίας 1 1.1 Το πρόβλημα.................................. 1 1. Δομή της εργασίας............................... 4 Ισοτροπικά λογαριθμικά κοίλα μέτρα 9.1 Προαπαιτούμενα από την ασυμπτωτική κυρτή γεωμετρία........... 9.1αʹ Κυρτά σώματα............................. 9.1βʹ Η ανισότητα Brunn-Minkowski.................... 11.1γʹ Συγκέντρωση του μέτρου....................... 18.1δʹ Ισοπεριμετρική ανισότητα στη σφαίρα.................. Λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας......................αʹ Ορισμοί και παραδείγματα........................βʹ Ανισότητες για λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις........... 4.3 Ισοτροπικά λογαριθμικά κοίλα μέτρα...................... 34.3αʹ Ισοτροπική θέση ενός κυρτού σώματος................ 35.3βʹ Ισοτροπικά λογαριθμικά κοίλα μέτρα.................. 38.3γʹ Ισοτροπικά τυχαία διανύσματα..................... 41.3δʹ ψ α εκτιμήσεις.............................. 4.3εʹ Τα σώματα K p µ)............................ 46.4 Γεωμετρία των ισοτροπικών κυρτών σωμάτων................. 59.4αʹ Η εικασία της ισοτροπικής σταθεράς.................. 59.4βʹ Διάμετρος ισοτροπικών κυρτών σωμάτων............... 6.4γʹ ψ -εκτίμηση για την Ευκλείδεια νόρμα................. 64 3 Συγκέντρωση του μέτρου 67 3.1 L q -κεντροειδή σώματα............................. 67 3.1αʹ Ορισμός και αρχικές παρατηρήσεις................... 67

iv Περιεχομενα 3.1βʹ L q -κεντροειδή σώματα των K p µ)................... 69 3.1γʹ Ογκος του Z n f)............................ 71 3.1δʹ Περιθώριες κατανομές και προβολές.................. 7 3.1εʹ Προβολές του Z q f).......................... 74 3. Εκτιμήσεις μεγάλων αποκλίσεων για την Ευκλείδεια νόρμα.......... 76 3.αʹ Αναγωγή στις ροπές.......................... 76 3.βʹ Μέσοι νορμών στην σφαίρα...................... 78 3.γʹ Μεικτά πλάτη.............................. 8 3.δʹ Η παράμετρος q............................ 81 3.εʹ Το θεώρημα των ροπών........................ 83 3.3 Εκτιμήσεις για τις αρνητικές ροπές....................... 85 3.3αʹ Το B-θεώρημα............................. 86 3.3βʹ Η παράμετρος d............................ 91 3.3γʹ Ροπές της Ευκλείδειας νόρμας..................... 94 4 Το κεντρικό οριακό πρόβλημα 97 4.1 Η υπόθεση της ε-συγκέντρωσης........................ 97 4. Η υπόθεση της διασποράς........................... 11 4.αʹ Η υπόθεση της διασποράς για τις p-μπάλες.............. 11 5 Εκτιμήσεις για λεπτούς δακτυλίους 117 5.1 Το επιχείρημα του Fleury............................ 117 5. Η εκτίμηση των Guédon και E. Milman.................... 19 5.αʹ Μια παραλλαγή των L q -κεντροειδών σωμάτων............ 13 5.βʹ Η log-lipschitz σταθερά της h k,p................... 137 5.γʹ Εκτιμήσεις για τις ροπές της Ευκλείδειας νόρμας........... 14 5.δʹ Μεγάλες αποκλίσεις.......................... 148 5.εʹ Απόδειξη των κύριων θεωρημάτων................... 15

Kefˆlaio 1 Perigraf thc ergasðac 1.1 To prìblhma Στην εργασία αυτή μελετάμε την γεωμετρία των λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας. Αυτά είναι τα Borel μέτρα πιθανότητας στον R n που ικανοποιούν την µ1 λ)a + λb) µa) 1 λ µb) λ για κάθε ζευγάρι μη κενών συμπαγών υποσυνόλων A, B του R n και κάθε λ, 1). Το βασικό πρόβλημα που θα μας απασχολήσει είναι το κεντρικό οριακό πρόβλημα: το ερώτημα είναι αν τα λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας µ μεγάλης διάστασης) έχουν κατά προσέγγιση κανονικές περιθώριες κατανομές. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι το µ είναι ισοτροπικό, δηλαδή κανονικοποιημένο έτσι ώστε x dµx) = και x, θ dµx) = 1 R n R n για κάθε θ S n 1. Ο ορισμός του ισοτροπικού κυρτού σώματος είναι λίγο διαφορετικός. Λέμε ότι ένα κυρτό σώμα K στον R n είναι ισοτροπικό αν έχει όγκο ίσο με 1, κέντρο βάρους στην αρχή των αξόνων και αν υπάρχει σταθερά L K > ώστε x, θ dx = L K K για κάθε θ S n 1. Τότε, από την ανισότητα Brunn-Minkowski έπεται ότι το μέτρο με πυκνότητα L n K 1 K/L K είναι λογαριθμικά κοίλο και ισοτροπικό. Πριν περιγράψουμε αναλυτικά την δομή και τα βασικά αποτελέσματα της εργασίας, δίνουμε κάποια σχόλια για την προέλευση του προβλήματος και αιτιολογούμε τον όρο «κεντρικό οριακό πρόβλημα».

Περιγραφη της εργασιας Εστω f : R n R + η από κοινού πυκνότητα n ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X 1,..., X n. Μπορούμε να γράψουμε την f στην μορφή όπου f 1,..., f n : R R +. Υποθέτουμε ότι fx 1,..., x n ) = f 1 x 1 ) fx n ) E X j ) = και VarX j ) = 1, 1 j n. Το κεντρικό οριακό θεώρημα ισχυρίζεται ότι, κάτω από κάποιες υποθέσεις ολοκληρωσιμότητας για τις f j, έχουμε n P θ j X j t 1 t exp s /) ds για κάθε t R π j=1 για τα περισσότερα θ = θ 1,..., θ n ) S n 1 ως προς το μέτρο πιθανότητας σ στην S n 1 ). Ενα τυπικό παράδειγμα μας δίνει το τυχαίο διάνυσμα X = X 1,..., X n ) που είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο στον κύβο Qn) = [ 3, 3] n η κανονικοποίηση επιλέγεται έτσι ώστε VarXj ) = 1 για κάθε 1 j n). Είναι γνωστό ότι αν π.χ. τα θ j ικανοποιούν την συνθήκη Lindeberg τότε η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής n X, θ = θ j X j είναι κατά προσέγγιση τυπική κανονική. Ενα δεύτερο παράδειγμα μας δίνει η μπάλα Dn) = n + B n. Θεωρούμε ένα τυχαίο διάνυσμα X = X 1,..., X n ) ομοιόμορφα κατανεμημένο στην Dn). Τώρα, οι τυχαίες μεταβλητές X j δεν είναι πιά ανεξάρτητες. Με βάση την παρατήρηση του Maxwell ότι αν το n είναι αρκετά μεγάλο τότε n t 1.1.1) σ θ j t) exp s n/) ds π για κάθε t [ 1, 1], και χρησιμοποιώντας την συμμετρία της Dn), μπορούμε να ελέγξουμε ότι η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X, θ είναι πολύ κοντά στην τυπική κανονική κατανομή για κάθε θ S n 1. Το κεντρικό οριακό πρόβλημα ρωτάει ποιές είναι εκείνες οι κατανομές μεγάλης διάστασης) οι οποίες έχουν κατά προσέγγιση κανονικές περιθώριες κατανομές. Υποθέτουμε ότι X = X 1,..., X n ) είναι ένα ισοτροπικό τυχαίο διάνυσμα στον R n, δηλαδή κανονικοποιημένο έτσι ώστε EX j ) = και EX i X j ) = δ ij, i, j = 1,..., n. Αποδεικνύεται ότι αν η κατανομή του X συγκεντρώνεται ισχυρά σε έναν λεπτό δακτύλιο τότε η απάντηση είναι καταφατική. j=1

1.1 Το προβλημα 3 Θεώρημα 1.1.1. Εστω X ένα ισοτροπικό τυχαίο διάνυσμα στον R n. Υποθέτουμε ότι ) X 1.1.) P 1 n ε ε για κάποιο ε, 1). Τότε, για κάθε θ σε ένα υποσύνολο A της S n 1 με σa) 1 exp c 1 n) έχουμε P X, θ t) Φt) c ε + n α ) για κάθε t R, όπου Φt) είναι η τυπική κανονική συνάρτηση κατανομής και c 1, c, α > είναι απόλυτες σταθερές. Αποτελέσματα αυτού του τύπου έχουν εμφανιστεί αρκετές φορές στην βιβλιογραφία βλέπε, για παράδειγμα, Sudakov, Diaconis και Freedman, von Weizsäker). Θα περιγράψουμε αναλυτικά μόνο την εργασία των Anttila, Ball και Περυσινάκη, η οποία έκανε το πρόβλημα ευρέως γνωστό στο πλαίσιο των ισοτροπικών κυρτών σωμάτων και, γενικότερα, στο πλαίσιο των λογαριθμικά κοίλων κατανομών. Αξίζει τον κόπο να αναφέρουμε εδώ τις βασικές ιδέες πίσω από το Θεώρημα 1.1.1. Θεωρούμε ένα τυχαίο διάνυσμα Y, ανεξάρτητο από το X, το οποίο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο στην S n 1. Για σταθερό t R, ορίζουμε F t : S n 1 R ως εξής: Παρατηρούμε ότι F t θ) = P X, θ t). S n 1 F t θ) dσθ) = P X Y 1 t). Συνδυάζοντας την 1.1.1) με την υπόθεση 1.1.) βλέπουμε ότι η X Y 1 είναι περίπου τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή, συνεπώς S n 1 F t θ) dσθ) Φt). Η απόδειξη του Θεωρήματος 1.1.1 θα ολοκληρωνόταν αν μπορούσαμε να δείξουμε ότι, για τα περισσότερα θ S n 1, F t θ) Φt). Εδώ, χρησιμοποιούμε ανισότητες μεγάλων αποκλίσεων για Lipschitz συνεχείς συναρτήσεις στην σφαίρα και δείχνουμε ότι η F t είναι περίπου σταθερή και ίση με την μέση τιμή της σε ένα μεγάλο κομμάτι της S n 1. Δεν μπορούμε να υποθέσουμε, σε πλήρη γενικότητα, ότι η F t είναι Lipschitz συνεχής. Μπορούμε όμως να προσεγγίσουμε την F t με μια συνάρτηση της μορφής G t θ) = E I t X, θ ),

4 Περιγραφη της εργασιας όπου I t είναι μια Lipschitz συνεχής συνάρτηση που προσεγγίζει την χαρακτηριστική συνάρτηση του, t] η ιδέα αυτή εμφανίζεται σε μια εργασία του Bobkov). Αυτό αποδεικνύει τον ισχυρισμό μας για σταθερή τιμή του t, και η απόδειξη ολοκληρώνεται με ένα επιχείρημα διακριτοποίησης: εφαρμόζουμε το προηγούμενο βήμα για τις τιμές t k = Φ 1 kε), k = 1,..., ε 1. Το επιχείρημα που περιγράψαμε είναι πολύ γενικό. Υποθέσαμε φυσικά ότι η διάσταση είναι αρκετά μεγάλη, δεν υποθέσαμε όμως την ανεξαρτησία των τυχαίων μεταβλητών X j ούτε κάποιου είδους συμμετρία για την κατανομή του τυχαίου διανύσματος X. Το βασικό λοιπόν ερώτημα είναι να δούμε για ποιές κατανομές μεγάλης διάστασης ισχύει καλή εκτίμηση για την συγκέντρωση του μέτρου σε έναν λεπτό δακτύλιο. Μπορούμε εύκολα να κατασκευάσουμε παραδείγματα ισοτροπικών κατανομών για τις οποίες δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Αν συμβολίσουμε με σ t το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας στην σφαίρα ts n 1 και επιλέξουμε t 1 = n/ και t = 7n/, τότε το ισοτροπικό μέτρο µ = σ t 1 + σ t δεν έχει «κανονικές περιθώριες κατανομές» άρα, δεν συγκεντρώνεται σε κάποιον λεπτό δακτύλιο). Οπως θα δούμε, αν υποθέσουμε ότι η κατανομή είναι λογαριθμικά κοίλη τότε μπορούμε να αποδείξουμε ισχυρή συγκέντρωση σε λεπτό δακτύλιο και να δώσουμε καταφατική απάντηση στο κεντρικό οριακό πρόβλημα. Εχει μάλιστα διατυπωθεί η εξής πολύ ισχυρή εικασία. Εικασία του λεπτού δακτυλίου: Υπάρχει απόλυτη σταθερά C > με την εξής ιδιότητα: για κάθε n 1 και για κάθε ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο τυχαίο διάνυσμα X στον R n ισχύει σ X := E X n) C. Η εικασία παραμένει ανοικτή. Ομως, τα τελευταία χρόνια έχουν αποδειχθεί πολύ ισχυρές ανισότητες συγκέντρωσης, οι οποίες οδηγούν σε ισχυρά αλλά όχι βέλτιστα) κεντρικά οριακά θεωρήματα για το τυχόν ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας. Οι ανισότητες αυτές θα παρουσιαστούν στο Κεφάλαιο 5. 1. Dom thc ergasðac Σε αυτήν την παράγραφο αναφέρουμε συνοπτικά τα κεντρικά αποτελέσματα που παρουσιάζουμε στα επόμενα Κεφάλαια. Κεφάλαιο. Στην Παράγραφο. εισάγουμε την κλάση των λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας. Αποδεικνύουμε επίσης χρήσιμες ανισότητες για λογαριθμικά κοίλες συναρ-

1. Δομη της εργασιας 5 τήσεις και λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας, οι οποίες θα χρησιμοποιούνται αρκετά συχνά στην συνέχεια. Στην Παράγραφο.3 ορίζουμε τα ισοτροπικά λογαριθμικά κοίλα μέτρα. Αυτά είναι τα λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας µ που έχουν βαρύκεντρο στην αρχή των αξόνων και ικανοποιούν την ισοτροπική συνθήκη R n x, θ dµx) = 1 για κάθε θ S n 1. Η ισοτροπική σταθερά ενός μέτρου µ που ανήκει σε αυτήν την κλάση ορίζεται ως εξής: ) 1/n L µ := sup fx) f)) 1/n, x R n όπου f είναι η λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα του µ. Παράλληλα συζητάμε την κλάση των ι- σοτροπικών κυρτών σωμάτων και δίνουμε τον ορισμό της ισοτροπικής σταθεράς ενός κυρτού σώματος. Στις τελευταίες δύο υποπαραγράφους εισάγουμε κάποια πολύ βασικά εργαλεία. Στην Παράγραφο.3ε) μελετάμε τις ιδιότητες συγκέντρωσης των λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας οι οποίες προκύπτουν άμεσα από την ανισότητα Brunn-Minkowski ακριβέστερα, από το λήμμα του Borell) και τις εκφράζουμε στην μορφή αντίστροφων α- νισοτήτων Hölder για ημινόρμες. Στην Παράγραφο.3στ) ορίζουμε την οικογένεια των κυρτών σωμάτων K p µ), p 1, που αντιστοιχούν σε ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας µ. Τα σώματα K p µ) εισήχθησαν από τον K. Ball και μας επιτρέπουν να αναχθούμε από την μελέτη των λογαριθμικά κοίλων μέτρων στην μελέτη των κυρτών σωμάτων. Α- ποδεικνύουμε ότι είναι κυρτά σώματα και συζητάμε τις βασικές τους ιδιότητες. Σαν ένα πρώτο παράδειγμα για την χρησιμότητά τους, δείχνουμε ότι για να επιτύχουμε άνω φράγμα για την ισοτροπική σταθερά των λογαριθμικά κοίλων μέτρων αρκεί να εξασφαλίσουμε αντίστοιχο άνω φράγμα για την ισοτροπική σταθερά στην πιο περιορισμένη κλάση των κυρτών σωμάτων. Κεφάλαιο 3. Ενα βασικό αποτέλεσμα του Κεφαλαίου εξασφαλίζει ότι η ψ 1 -νόρμα οποιουδήποτε γραμμικού συναρτησοειδούς x x, θ, θ S n 1, ως προς ένα ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο µ στον R n είναι φραγμένη από μία απόλυτη σταθερά. Σε αυτό το Κεφάλαιο εισάγουμε την οικογένεια των L q -κεντροειδών σωμάτων ενός ισοτροπικού λογαριθμικά κοίλου μέτρου µ στον R n. Για κάθε q 1, το L q -κεντροειδές σώμα Z q µ) του µ ορίζεται μέσω της συνάρτησης στήριξής του 1/q h Zqµ)y) :=, y Lqµ) = x, y dµx)) q. Παρατηρήστε ότι το µ είναι ισοτροπικό αν και μόνο αν έχει βαρύκεντρο το και Z µ) = B n. Η μελέτη αυτής της οικογένειας σωμάτων, και της συμπεριφοράς τους καθώς το q αυξάνει K

6 Περιγραφη της εργασιας από το προς το n, δίνει πολλές πληροφορίες για τις ιδιότητες συγκέντρωσης του μέτρου µ. Αρχικά παρουσιάζουμε τις βασικές ιδιότητες της οικογένειας {L q µ) : q } και αποδεικνύουμε κάποιες θεμελιώδεις σχέσεις. Δύο από αυτές παίζουν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στα επόμενα: i) f µ ) 1/n Z n µ) 1/n 1. ii) Για κάθε 1 k < n και για κάθε F G n,k και q 1, έχουμε P F Z q µ)) = Z q π F µ)), όπου π F µ) είναι η περιθώρια κατανομή του µ ως προς τον F, που ορίζεται από την σχέση π F µ)a) := µp 1 F A)) για κάθε Borel υποσύνολο του F. Η πρώτη σημαντική εφαρμογή της θεωρίας των L q -κεντροειδών σωμάτων είναι η ανισότητα του Παούρη: για κάθε ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας µ στον R n ισχύει µ{x R n : x ct n}) exp t n ) για κάθε t 1, όπου c > είναι μια απόλυτη σταθερά. Η ανισότητα είναι σχεδόν άμεση συνέπεια του εξής αποτελέσματος: υπάρχουν απόλυτες σταθερές c 1, c > ώστε, αν µ είναι ένα ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n τότε I q µ) c I µ) για κάθε q c 1 n, όπου η ποσότητα Iq µ) ορίζεται, για κάθε q > n, ως εξής: ) 1/q I q µ) = x q dµx). R n Περιγράφουμε επίσης την απόδειξη ενός δεύτερου αποτελέσματος του Παούρη, το οποίο επεκτείνει το προηγούμενο. Αν µ είναι ένα ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n τότε, για κάθε 1 q c 3 n ισχύει I q µ) I q µ). Ειδικότερα, για κάθε 1 q c 3 n ισχύει Iq µ) ci µ), όπου c > είναι μια απόλυτη σταθερά. Από την ανισότητα I q µ) ci µ), με q n, προκύπτει ότι αν < ε < ε τότε µ{x R n : x < ε n}) ε c4 n,

1. Δομη της εργασιας 7 όπου ε, c 4 > είναι απόλυτες σταθερές. Με άλλα λόγια, τα αποτελέσματα αυτού του Κεφαλαίου δίνουν μια εκτίμηση του μέτρου σε έναν «όχι και τόσο λεπτό» δακτύλιο γύρω από την ακτίνα n: έχουμε µ{x R n : c n x < C n}) > 1 o n 1), όπου < c < 1 < C είναι απόλυτες σταθερές. Κεφάλαιο 4. Σε αυτό το Κεφάλαιο παρουσιάζουμε το θεώρημα των Anttila, Ball και Περυσινάκη. Θεωρούμε ένα ισοτροπικό κυρτό σώμα K στον R n, το οποίο μπορεί κανείς να δεί σαν χώρο πιθανότητας με το μέτρο Lebesgue µ K στο K, και για κάθε θ S n 1 θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή X θ x) = x, θ. Η υπόθεση ότι το K είναι ισοτροπικό παίρνει την μορφή EX θ = και VarX θ ) = L K για κάθε θ S n 1. Συμβολίζουμε με gs) την πυκνότητα της κανονικής τυχαίας μεταβλητής γ που έχει μέση τιμή και διασπορά L K, και για απλότητα γράφουμε g θs) για την πυκνότητα της X θ. Παρατηρήστε ότι g θ s) = K { x, θ = s} και ) 1 gs) = exp s πlk L. K Με αυτόν τον συμβολισμό, αποδεικνύουμε το εξής. Θεώρημα 1..1. Εστω K ένα ισοτροπικό συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n, το οποίο ικανοποιεί την 1..1) µ K x n L K εl K ) ε για κάποιον < ε < 1. Τότε, για κάθε δ >, { t t σ θ : g θ s) ds gs) ds δ + 4ε + c }) 1 για κάθε t R n t 1 n e cδn, t όπου c 1, c > είναι απόλυτες σταθερές. Κεφάλαιο 5. Περιγράφουμε το καλύτερο γνωστό αποτέλεσμα για την εικασία του λεπτού δακτυλίου, το οποίο οφείλεται στους Guédon και E. Milman. Πολλές από τις ιδέες της απόδειξης βασίζονται σε προηγούμενες δουλειές του Klartag που ήταν ο πρώτος που έδωσε ασθενέστερη αλλά γενική εκτίμηση) και του Fleury το επιχείρημα του οποίου περιγράφουμε επίσης λεπτομερώς).

8 Περιγραφη της εργασιας Θεώρημα 1... Εστω X ένα ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο τυχαίο διάνυσμα στον R n. Ισχύει 1..) P X n t n ) C exp c n mint 3, t)) για κάθε t >, όπου C, c > είναι απόλυτες σταθερές. Ειδικότερα, 1..3) Var X ) Cn 1/3. Από το Θεώρημα 1.. προκύπτει μια εκτίμηση μεγάλων αποκλίσεων η οποία συμπληρώνει την ανισότητα του Παούρη. Θεώρημα 1..3. Εστω X ένα ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο τυχαίο διάνυσμα στον R n. Ισχύει 1..4) P X 1 + t) n ) exp c n mint 3, t)) για κάθε t, όπου c > είναι μια απόλυτη σταθερά. Από το Θεώρημα 1.. προκύπτει επίσης μια εκτίμηση για το μέτρο σε μικρές μπάλες. Θεώρημα 1..4. Εστω X ένα ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο τυχαίο διάνυσμα στον R n. Ισχύει 1..5) P X 1 t) n ) exp c 1 n min t 3, log c ) ) 1 t για κάθε t, 1), όπου c 1, c > είναι απόλυτες σταθερές. Ολα τα παραπάνω θεωρήματα είναι συνέπειες του εξής κύριου τεχνικού θεωρήματος. Θεώρημα 1..5. Εστω X ένα ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο τυχαίο διάνυσμα στον R n. Αν 1 p c 1 n 1/6 τότε p 1..6) 1 C n 1/3 και αν c 1 n 1/6 p c n τότε 1..7) 1 C p n 1/4 E X p )1/p p 1 + C E X )1/ n, 1/3 E X p )1/p p 1 + C. E X )1/ n 1/4

Kefˆlaio Isotropikˆ logarijmikˆ koðla mètra.1 ProapaitoÔmena apì thn asumptwtik kurt gewmetrða.1αʹ Κυρτά σώματα Δουλεύουμε στον R n, ο οποίος είναι εφοδιασμένος με μια Ευκλείδεια δομή,. Συμβολίζουμε με την αντίστοιχη Ευκλείδεια νόρμα, γράφουμε B n για την Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα και S n 1 για την μοναδιαία σφαίρα. Ο όγκος μέτρο Lebesgue) συμβολίζεται με. Γράφουμε ω n για τον όγκο της B n και σ για το αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς μέτρο πιθανότητας στην S n 1. Η πολλαπλότητα Grassmann G n,k των k-διάστατων υποχώρων του R n είναι εφοδιασμένη με το μέτρο πιθανότητας Haar ν n,k. Εστω k n και F G n,k. Συμβολίζουμε με P F την ορθογώνια προβολή από τον R n στον F. Επίσης, ορίζουμε B F := B n F και S F := S n 1 F. Τα γράμματα c, c, c 1, c κλπ. συμβολίζουν απόλυτες θετικές σταθερές, οι οποίες μπορεί να αλλάζουν από γραμμή σε γραμμή. Οποτεδήποτε γράφουμε a b, εννοούμε ότι υπάρχουν απόλυτες σταθερές c 1, c > έτσι ώστε c 1 a b c a. Επίσης, αν K, L R n θα γράφουμε K L αν υπάρχουν απόλυτες σταθερές c 1, c > έτσι ώστε c 1 K L c K. Ενα κυρτό σώμα στον R n είναι ένα συμπαγές κυρτό σύνολο C του R n με μη κενό εσωτερικό. Λέμε ότι το C είναι συμμετρικό αν «x C αν και μόνον αν x C». Λέμε ότι το C έχει κέντρο βάρους στο ή στην αρχή των αξόνων) αν x, θ dx = για C κάθε θ S n 1. Η ακτινική συνάρτηση ρ C : R n \ {} R + του κυρτού σώματος C με intc) ορίζεται ως εξής: ρ C x) = max{t > : tx C}.

1 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα Η συνάρτηση στήριξης του C ορίζεται ως εξής: h C y) = max{ x, y : x C}. Παρατηρήστε ότι σε κάθε διευθύνση θ S n 1 ισχύει ρ C θ) h C θ). Το μέσο πλάτος του C είναι η ποσότητα wc) = h C θ)σdθ). S n 1 Η περιγεγραμμένη ακτίνα του C είναι η RC) = max{ x : x C}. Πολλές φορές, για σώματα C με intc) λέμε την παραπάνω ποσότητα διάμετρο του σώματος. Ο λόγος είναι ότι αυτές οι δύο ποσότητες είναι ισοδύναμες: RC) diamc) RC), όπου diamc) είναι η συνήθης διάμετρος diamc) = sup{ x y : x, y C}. Το πολικό σώμα C του C ορίζεται να είναι το σώμα C = {x R n : x, y 1 y C}. Βασικές ιδιότητες του πολικού σώματος είναι οι ακόλουθες: i) C. ii) Αν intc), τότε C ) = C. iii) Για κάθε θ S n 1 ισχύει ρ C θ) = 1/h C θ). iv) Για κάθε T GLn) ισχύει T K) = T 1 ) K ). Κάποιες βασικές ανισότητες για όγκους κυρτών σωμάτων οι οποίες θα φανούν χρήσιμες είναι οι ακόλουθες: α) Η ανισότητα του Urysohn. Αν C είναι κυρτό σώμα στον R n τότε wc) ) 1/n C B n. β) Η ανισότητα Blaschke-Santaló. Αν K είναι συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n, ή γενικότερα αν το K έχει κέντρο βάρους το, τότε K K B n.

.1 Προαπαιτουμενα απο την ασυμπτωτικη κυρτη γεωμετρια 11 γ) Η ανισότητα των Bourgain-Milman. Υπάρχει μια απόλυτη σταθερά < c < 1 ώστε: Για κάθε n N και για κάθε κυρτό σώμα K στον R n με intk), ισχύει K K c n B n. Η ανισότητα αυτή είναι γνωστή και ως αντίστροφη ανισότητα Santaló. Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n. Η απεικόνιση K : R n R + με x K = inf{t > : x tk} είναι νόρμα στον R n. Ο χώρος R n, K ) συμβολίζεται με X K. Αντίστροφα, αν X = R n, ) είναι ένας χώρος με νόρμα, τότε η μοναδιαία μπάλα B = {x R n : x 1} του X είναι συμμετρικό κυρτό σώμα. Εστω X, Y δύο n-διάστατοι χώροι με νόρμα. Η απόσταση Banach Mazur του X από τον Y ορίζεται ως εξής: dx, Y ) = inf{ T T 1 T : X Y γραμμικός ισομορφισμός}. Σε γεωμετρική γλώσσα η απόσταση Banach Mazur περιγράφεται ως εξής: Αν X = X K και Y = X L δηλαδή οι μοναδιαίες μπάλες των X, Y είναι τα κυρτά σώματα K, L αντίστοιχα) τότε η dx, Y ) είναι ο μικρότερος d > ώστε L T K) dl για κάποιον αντιστρέψιμο γραμμικό μετασχηματισμό T. Είναι προφανές ότι dx, Y ) 1 για κάθε δύο n-διάστατους χώρους, με ισότητα αν και μόνον αν οι χώροι είναι ισομετρικά ισόμορφοι. Ετσι, η απόσταση Banach Mazur μετράει πόσο διαφέρουν δύο χώροι από το να είναι ισομετρικοί..1βʹ Η ανισότητα Brunn-Minkowski Ορισμός.1.1. Εστω A και B μη κενά υποσύνολα του R n. Ορίζουμε A + B := {a + b a A, b B} και για κάθε t, ta = {ta a A}. Η ανισότητα Brunn-Minkowski συνδέει το άθροισμα Minkowski με τον όγκο στον R n : Θεώρημα.1.. Εστω K και T δύο μη κενά συμπαγή υποσύνολα του R n. Τότε,.1.1) K + T 1/n K 1/n + T 1/n.

1 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα Σημείωση. Στην περίπτωση που τα K και T είναι κυρτά σώματα, ισότητα στην.1.1) μπορεί να ισχύει μόνο αν τα K και T είναι ομοιοθετικά. Η.1.1) εκφράζει με μία έννοια το γεγονός ότι ο όγκος είναι κοίλη συνάρτηση ως προς την πρόσθεση κατά Minkowski. Για το λόγο αυτό συχνά γράφεται στην ακόλουθη μορφή: Αν K, T είναι μη κενά συμπαγή υποσύνολα του R n και λ, 1), τότε.1.) λk + 1 λ)t 1/n λ K 1/n + 1 λ) T 1/n. Χρησιμοποιώντας την.1.) και την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, μπορούμε ακόμα να γράψουμε:.1.3) λk + 1 λ)t K λ T 1 λ. Η ασθενέστερη αυτή μορφή της ανισότητας Brunn-Minkowski έχει το πλεονέκτημα ότι είναι ανεξάρτητη της διάστασης. Υπάρχουν πολλές αποδείξεις της.1.1). Θα δώσουμε εδώ την απόδειξη της συναρτησιακής μορφής της ανισότητας, που οφείλεται στους Prékopa και Leindler Θεώρημα.1.3. Εστω f, g, h : R n R + τρεις μετρήσιμες συναρτήσεις και έστω λ, 1). Υποθέτουμε ότι οι f και g είναι ολοκληρώσιμες, και ότι, για κάθε x, y R n.1.4) hλx + 1 λ)y) fx) λ gy) 1 λ. Τότε, h R n R n f ) λ R n g ) 1 λ. Απόδειξη. Θα δείξουμε την ανισότητα με επαγωγή ως προς την διάσταση n. α) n = 1: Χρησιμοποιώντας βασικά αποτελέσματα από την θεωρία του ολοκληρώματος Lebesgue, μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι f και g είναι συνεχείς και γνήσια θετικές. Η απόδειξη που θα δώσουμε βασίζεται στην ιδέα της μεταφοράς του μέτρου. Ορίζουμε x, y :, 1) R μέσω των xt) f = t f, yt) g = t g. Με βάση τις υποθέσεις μας οι x, y είναι παραγωγίσιμες, και για κάθε t, 1) έχουμε x t)fxt)) = f και y t)gyt)) = g.

.1 Προαπαιτουμενα απο την ασυμπτωτικη κυρτη γεωμετρια 13 Ορίζουμε z :, 1) R με zt) = λxt) + 1 λ)yt). Οι x και y είναι γνησίως αύξουσες. Επεται ότι η z είναι κι αυτή γνησίως αύξουσα και, από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, z t) = λx t) + 1 λ)y t) x t)) λ y t)) 1 λ. Μπορούμε λοιπόν να εκτιμήσουμε το ολοκλήρωμα της h κάνοντας την αλλαγή μεταβλητών s = zt): h = = 1 1 1 hzt))z t)dt hλxt) + 1 λ)yt))x t)) λ y t)) 1 λ dt f f λ xt))g 1 λ yt)) ) λ f g) 1 λ. fxt)) ) λ ) 1 λ g dt gyt)) β) Επαγωγικό βήμα: Υποθέτουμε ότι n και ότι το Θεώρημα έχει αποδειχθεί για k {1,..., n 1}. Εστω f, g, h όπως στο Θεώρημα. Για κάθε s R ορίζουμε h s : R n 1 R + με h s w) = hw, s), και με ανάλογο τρόπο ορίζουμε f s, g s : R n 1 R +. Από την.1.4) έπεται ότι, αν x, y R n 1 και s, s 1 R τότε και η επαγωγική υπόθεση μας δίνει Hλs 1 + 1 λ)s ) := h λs1+1 λ)s λx + 1 λ)y) f s1 x) λ g s y) 1 λ, R n 1 h λs1+1 λ)s R n 1 f s1 ) λ R n 1 g s ) 1 λ =: F λ s 1 )G 1 λ s ). Εφαρμόζοντας τώρα ξανά την επαγωγική υπόθεση για n = 1 στις συναρτήσεις F, G και H, παίρνουμε h = R H F R ) λ 1 λ G) = R ) λ f g) 1 λ.

14 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα Απόδειξη του Θεωρήματος.1.. Εστω K, T συμπαγή μη κενά υποσύνολα του R n και έστω λ, 1). Ορίζουμε f = χ K, g = χ T, και h = χ λk+1 λ)t. Εύκολα ελέγχουμε ότι ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος.1.3, οπότε λk + 1 λ)t = h ) λ f g) 1 λ = K λ T 1 λ. Αυτό αποδεικνύει την.1.3) για κάθε τριάδα K, T, λ. Για να πάρουμε την.1.1) θεωρούμε K και T όπως στο Θεώρημα.1. με K >, T > ), και ορίζουμε K 1 = K 1/n K, T 1 = T 1/n T, λ = Τα K 1 και T 1 έχουν όγκο 1, οπότε από την.1.3) παίρνουμε.1.5) λk 1 + 1 λ)t 1 1. Ομως, λk 1 + 1 λ)t 1 = επομένως η.1.5) παίρνει την μορφή K + T K + T K 1/n + T 1/n, K 1/n + T 1/n) n. K 1/n K 1/n + T 1/n. Η ανισότητα Brunn-Minkowski είναι το θεμέλιο της θεωρίας των κυρτών σωμάτων. Δίνουμε εδώ μερικές μόνο από τις εφαρμογές της, αυτές που έχουν σχέση με τα θέματα που θα μας απασχολήσουν. Η ανισότητα των Rogers και Shephard. Το σώμα διαφορών του κυρτού σώματος K είναι το K K = {x y x, y K}. Το K K είναι συμμετρικό με κέντρο συμμετρίας το ), και K K K. Οι Rogers και Shephard έδωσαν ακριβές άνω φράγμα για τον όγκο του σώματος διαφορών. Θεώρημα.1.4. Εστω K κυρτό σώμα στον R n. Τότε, ) n K K K. n

.1 Προαπαιτουμενα απο την ασυμπτωτικη κυρτη γεωμετρια 15 Απόδειξη. Η ανισότητα Brunn-Minkowski μπαίνει στην απόδειξη μέσω του εξής λήμματος: Λήμμα.1.5. Αν K και T είναι κυρτά σώματα στον R n, η συνάρτηση x K x + T ) 1/n είναι κοίλη στον φορέα της. Απόδειξη. Το Λήμμα είναι άμεση συνέπεια του εγκλεισμού λk x + T )) + 1 λ)k y + T )) K λx + 1 λ)y) + T ). Επεται ότι K λx + 1 λ)y) + T ) λk x + T )) + 1 λ)k y + T )), και από την.1.) συμπεραίνουμε ότι K λx + 1 λ)y + T ) 1/n λ K x + T ) 1/n + 1 λ) K y + T ) 1/n. Ορίζουμε fx) = K x + K) 1/n. Θέτοντας T = K στο Λήμμα.1.5 βλέπουμε ότι η f είναι κοίλη συνάρτηση στον φορέα της, δηλαδή στο K K. Ορίζουμε μια δεύτερη συνάρτηση g : K K R + ως εξής: κάθε x K K γράφεται στην μορφή x = rθ, όπου θ S n 1 και r ρ K K θ). Τότε, θέτουμε gx) = f)1 r/ρ K K θ)). Από τον τρόπο με τον οποίο ορίστηκε, η g είναι γραμμική στο ευθύγραμμο τμήμα [, ρ K K θ)θ], μηδενίζεται στο σύνορο του K K, και g) = f). Αφού η f είναι κοίλη, παίρνουμε f g στο K K. Επομένως, K K K x + K) dx = K K = [f)] n nω n f n x)dx S n 1 K K ρk K θ) g n x)dx = K nω n S n 1 ρ n K Kθ)σdθ) Γn)Γn + 1) = K K K n = Γn + 1) r n 1 1 r/ρ) n drσdθ) 1 n n t n 1 1 t) n dt ) 1 K K K.

16 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα Από την άλλη πλευρά, το θεώρημα του Fubini μας δίνει K x + K) dx = K x + K) dx K K R n = χ K y)χ x+k y)dydx R n R n ) = χ K y) χ y K x)dx dy R n R n = y K dy = K. Συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις ολοκληρώνουμε την απόδειξη. K Σημείωση. Εξετάζοντας πιό προσεκτικά την απόδειξη, και παίρνοντας υπόψη την συνθήκη ισότητας στην ανισότητα Brunn-Minkowski, βλέπουμε ότι ισχύει ισότητα στο Θεώρημα.1.4 αν και μόνο αν το K έχει την ακόλουθη ιδιότητα: rk + x) sk + y) = tk + w για κάθε r, s > και x, y R n, δηλαδή αν η τομή δύο όχι ξένων ομοιοθετικών προς το K σωμάτων είναι κι αυτή ομοιοθετική προς το K. Οι Rogers και Shephard απέδειξαν ότι η ιδιότητα αυτή χαρακτηρίζει το simplex. Η χρησιμότητα της εκτίμησης του Θεωρήματος.1.4 έγκειται στην παρατήρηση ότι ο όγκος του K K δεν είναι πολύ μεγαλύτερος από τον όγκο του K: K K 1/n 4 K 1/n, δηλαδή, κάθε κυρτό σώμα που περιέχει το ) περιέχεται σε ένα συμμετρικό κυρτό σώμα με «περίπου» τον ίδιο όγκο. Η παρατήρηση αυτή θα χρησιμοποιηθεί ουσιαστικά στην συνέχεια. Τομές ενός κυρτού σώματος με παράλληλα υπερεπίπεδα Θεωρούμε ένα κυρτό σώμα K στον R n, και σταθεροποιούμε μια διεύθυνση θ S n 1. Ορίζουμε f = f K,θ : R R + ως εξής: ft) = K θ + tθ). Ο όγκος εδώ είναι n 1)-διάστατος. Δηλαδή, ft) είναι το «εμβαδόν» της τομής του K που είναι κάθετη στο θ και σε προσημασμένη) απόσταση t από τον θ. Θεώρημα.1.6. Εστω K κυρτό σώμα, θ S n 1, και ft) = K θ + tθ). Τότε, η είναι κοίλη στον φορέα της. f 1 n 1

.1 Προαπαιτουμενα απο την ασυμπτωτικη κυρτη γεωμετρια 17 Απόδειξη. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι θ = e n, οπότε ταυτίζουμε φυσιολογικά τον θ με τον R n 1. Για κάθε t ορίζουμε Kt) = {x R n 1 x, t) K}. Εστω I = {t Kt) }. Για κάθε t I, το Kt) είναι κυρτό, και αν t, s I, λ, 1), τότε λkt) + 1 λ)ks) Kλt + 1 λ)s). Από την ανισότητα Brunn-Minkowski στον R n 1, 1 1 1 Kλt + 1 λ)s) n 1 λ Kt) n 1 + 1 λ) Ks) Ομως ft) = K θ + tθ) = Kt), κι αυτό δίνει το ζητούμενο. Σημείωση. Το Θεώρημα.1.6 προηγήθηκε της ανισότητας Brunn-Minkowski. Ο Brunn έδειξε το παραπάνω αποτέλεσμα με την μέθοδο της συμμετρικοποίησης, και ο Minkowski έδωσε μια απόδειξη του Θεωρήματος.1. χρησιμοποιώντας το. Πόρισμα.1.7. Με τις υποθέσεις του Θεωρήματος.1.6 η f είναι λογαριθμικά κοίλη στον φορέα της. Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, παίρνουμε fλt + 1 λ)s) ft) λ fs) 1 λ n 1. για κάθε t, s I και λ, 1). Αυτό σημαίνει ότι η log f είναι κοίλη στο I. Πόρισμα.1.8. Αν το K είναι συμμετρικό με κέντρο το, τότε f = f), δηλαδή η μέγιστη τομή του K είναι η κεντρική. Απόδειξη. Από την υπόθεση της συμμετρίας έπεται ότι K t) = Kt) για κάθε t I. Από το Πόρισμα.1.7 η f είναι άρτια και λογαριθμικά κοίλη στο I. Αρα, για κάθε t I, ) t + t) f) = f ft) f t) = ft). Το Λήμμα του Borell Θεώρημα.1.9. Εστω K κυρτό σώμα στον R n με όγκο K = 1, και A κλειστό κυρτό συμμετρικό σύνολο τέτοιο ώστε K A = δ > 1. Τότε, για κάθε t > 1 έχουμε 1 δ K ta) c δ δ ) t+1.

18 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα με απαγωγή σε άτοπο ότι A c t + 1 ta)c + t 1 t + 1 A. Εστω ότι υπάρχει a A που γράφεται στην μορφή όπου a 1 A και y / ta. Τότε, a = t + 1 y + t 1 t + 1 a 1, 1 t y = t + 1 a + t 1 a 1 ) A, t t από την κυρτότητα και την συμμετρία του A. Αυτό σημαίνει ότι y ta, άτοπο. Το K είναι κυρτό, επομένως A c K t + 1 [ta)c K] + t 1 [A K]. t + 1 Εφαρμόζοντας την ανισότητα Brunn-Minkowski για συμπαγή σύνολα, παίρνουμε 1 δ = A c K ta) c K t+1 A K t 1 t+1 = ta) c K t+1 δ t 1 t+1. Αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο. Το Λήμμα του Borell εκφράζει την συγκέντρωση του όγκου στον R n : Αν το A K περιέχει περισσότερο από το μισό του όγκου του K, τότε το ποσοστό του K που μένει έξω από το ta, t > 1 φθίνει εκθετικά ως προς t καθώς το t, με ρυθμό ανεξάρτητο από το K και την διάσταση n..1γʹ Συγκέντρωση του μέτρου Εστω X, A, d, µ) ένας μετρικός χώρος πιθανότητας. Δηλαδή, ο X, d) είναι μετρικός χώρος και το µ είναι ένα μέτρο πιθανότητας στη σ-άλγεβρα A των Borel υποσυνόλων του X, d). Αν A A και t >, η t-περιοχή του A είναι το σύνολο A t = {x X : dx, A) t}. Ορισμός.1.1. Η συνάρτηση συγκέντρωσης του X, A, d, µ) ορίζεται στο, ) από την αx, t) := 1 inf{µa t ) : µa) 1/}. Λέμε ότι υπάρχει «συγκέντρωση μέτρου» στον χώρο αν η αx, t) φθίνει γρήγορα για παράδειγμα, εκθετικά ως προς t). Πολλές από τις εφαρμογές της συγκέντρωσης του μέτρου βασίζονται στο εξής θεώρημα.

.1 Προαπαιτουμενα απο την ασυμπτωτικη κυρτη γεωμετρια 19 Θεώρημα.1.11. Εστω X, A, d, µ) μετρικός χώρος πιθανότητας. Αν f : X R είναι μια συνάρτηση Lipschitz με σταθερά 1, δηλαδή αν fx) fy) dx, y) για κάθε x, y X, τότε µ {x X : fx) medf) > t}) αx, t) όπου medf) είναι ο μέσος Lévy της f. Σημείωση. Ο μέσος Lévy medf) της f είναι ένας αριθμός για τον οποίο µ{f medf)}) 1/ και µ{f medf)}) 1/. Απόδειξη του Θεωρήματος.1.11. Θέτουμε A = {x : fx) medf)} και B = {x : fx) medf)}. Αν y A t τότε υπάρχει x A με dx, y) t, οπότε fy) = fy) fx) + fx) dy, x) + medf) medf) t αφού η f είναι 1-Lipschitz. Ομοίως, αν y B t τότε υπάρχει x B με dx, y) t, οπότε fy) = fy) fx) + fx) dy, x) + medf) medf) + t. Δηλαδή, αν y A t B t τότε fx) medf) t. Με άλλα λόγια,.1.6) {x X : fx) medf) > t} A t B t ) c = A c t B c t. Ομως, από τον ορισμό της συνάρτησης συγκέντρωσης έχουμε µa t ) 1 αx, t) και µb t ) 1 αx, t). Επιστρέφοντας στην.1.6) βλέπουμε ότι µ { f medf) > t}) 1 µa t )) + 1 µb t )) αx, t). Στην περίπτωση που η συνάρτηση συγκέντρωσης φθίνει πολύ γρήγορα, το Θεώρημα.1.11 δείχνει ότι οι 1-Lipschitz συνεχείς συναρτήσεις είναι «σχεδόν σταθερές» σε «σχεδόν ολόκληρο το χώρο». Ισχύει μάλιστα και το αντίστροφο. Πρόταση.1.1. Εστω X, A, d, µ) μετρικός χώρος πιθανότητας. Αν για κάποιο t > και για κάθε 1-Lipschitz συνάρτηση f : X R έχουμε τότε αx, t) η. µ {x X : fx) medf) > t}) η, Απόδειξη. Εστω A Borel υποσύνολο του X με µa) 1/. Θεωρούμε την συνάρτηση fx) = dx, A). Η f είναι 1-Lipschitz και medf) = γιατί η f παίρνει μη αρνητικές τιμές και µ{x : fx) = }) 1/. Από την υπόθεση παίρνουμε µ{x X : dx, A) > t}) η, δηλαδή 1 µa t ) η. Επεται ότι αx, t) η.

Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα.1δʹ Ισοπεριμετρική ανισότητα στη σφαίρα Θεωρούμε την μοναδιαία σφαίρα S n 1 στον R n εφοδιασμένη με την γεωδαισιακή μετρική ρ: η απόσταση ρx, y) δύο σημείων x, y S n 1 είναι η κυρτή γωνία xy στο επίπεδο που ορίζεται από την αρχή των αξόνων και τα x, y. Η S n 1 γίνεται χώρος πιθανότητας με το μοναδικό αναλλοίωτο ως προς στροφές μέτρο σ: για κάθε Borel σύνολο A S n 1 θέτουμε σa) := Ã B n, όπου B n είναι η μοναδιαία Ευκλείδεια μπάλα και Ã := {sx : x A και s 1}. Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι αν ρx, y) = θ τότε x y = sin θ, συνεπώς η γεωδαισιακή και η Ευκλείδεια απόσταση των x, y S n 1 συγκρίνονται μέσω της π ρx, y) x y ρx, y). Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα στην σφαίρα διατυπώνεται ως εξής: Δίνονται α, 1) και t >. Ανάμεσα σε όλα τα Borel υποσύνολα A της σφαίρας για τα οποία σa) = α, να βρεθούν εκείνα για τα οποία ελαχιστοποιείται η επιφάνεια σa t ) της t-περιοχής του A. Η απάντηση δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα: Ισοπεριμετρική ανισότητα στην σφαίρα. Εστω α, 1) και Bx, r) = {y S n 1 : ρx, y) r} μια μπάλα στην S n 1 με ακτίνα r > που επιλέγεται ώστε σbx, r)) = α. Τότε, για κάθε A S n 1 με σa) = α και για κάθε t > έχουμε σa t ) σ Bx, r) t ) = σ Bx, r + t) ). Δηλαδή, για οποιοδήποτε δοσμένο μέτρο α και οποιοδήποτε t > οι μπάλες μέτρου α δίνουν τη λύση του ισοπεριμετρικού προβλήματος. Η απόδειξη της ισοπεριμετρικής ανισότητας γίνεται με σφαιρική συμμετρικοποίηση και επαγωγή ως προς την διάσταση. Ας θεωρήσουμε την ειδική περίπτωση α = 1/. Αν

.1 Προαπαιτουμενα απο την ασυμπτωτικη κυρτη γεωμετρια 1 σa) = 1/ και t >, τότε μπορούμε να εκτιμήσουμε το μέγεθος του A t χρησιμοποιώντας την ισοπεριμετρική ανισότητα:.1.7) σa t ) σ B x, π + t)) για κάθε t > και x S n 1. Εκτιμώντας από κάτω το δεξιό μέλος της.1.7) οδηγούμαστε στην ακόλουθη ανισότητα. Θεώρημα.1.13. Εστω A S n+1 με σa) = 1/ και έστω t >. Τότε,.1.8) σa t ) 1 π/8 exp t n/). Παρατήρηση. Αυτό που έχει σημασία σε σχέση με την εκτίμηση του Θεωρήματος.1.13 είναι ότι, όσο μικρό t > κι αν διαλέξουμε, η ακολουθία exp t n/) τείνει στο καθώς n και μάλιστα με πολύ ταχύ ρυθμό εκθετικά ως προς n). Επομένως, το ποσοστό της σφαίρας που μένει έξω από την t-περιοχή οποιουδήποτε υποσυνόλου A της S n+1 με σa) = 1/ είναι «σχεδόν μηδενικό» αν η διάσταση n είναι αρκετά μεγάλη. Η απόδειξη του Θεωρήματος.1.13 βασίζεται πολύ ισχυρά στην σφαιρική ισοπεριμετρική ανισότητα. Για τις περισσότερες όμως εφαρμογές που έχουμε στο νού μας είναι αρκετή μια ανισότητα σαν την.1.8) και όχι η ακριβής λύση του ισοπεριμετρικού προβλήματος. Θα δώσουμε μια απλή απόδειξη της.1.8) χωρίς να περάσουμε μέσα από την ισοπεριμετρική ανισότητα, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Brunn-Minkowski. Λήμμα.1.14. Θεωρούμε το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας µ στην Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B n. Δηλαδή, µa) = A / B n για κάθε Borel A B n. Αν A, C B n συμπαγή, και da, C) := min{ a c : a A, c C} = ρ >, τότε min{µa), µc)} exp ρ n/8). Απόδειξη. Θεωρούμε το σύνολο A+C. Από την ανισότητα Brunn-Minkowski παίρνουμε A+C min{ A, C }. Συνεπώς, ) A + C µ min{µa), µc)}. Από την άλλη πλευρά, αν a A και c C, ο κανόνας του παραλληλογράμμου δίνει a + c = a + c a c 4 ρ, επομένως A + C 1 ρ 4 Bn.

Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα Συνδυάζοντας τις δύο ανισότητες βλέπουμε ότι min { µa), µc) } ) n/ 1 ρ exp ρ n/8). 4 Απόδειξη του Θεωρήματος.1.13. Εστω A S n 1 με σa) = 1/ και έστω t >. Θέτουμε C = S n 1 \ A t και θεωρούμε τα υποσύνολα A 1 = {ρa : a A, 1 ρ 1} και C 1 = {ρa : a C, 1 ρ 1} της B n. Εύκολα ελέγχουμε ότι Από το Λήμμα.1.14 συμπεραίνουμε ότι da 1, C 1 ) sin t t π. C 1 exp d n/8) B n exp t n/8π ) ) B n. Ομως, από τον ορισμό του σ έχουμε B n σc) = C και C 1 = 1 n ) C. Συνεπώς, Δηλαδή, σa c t) = σc) 1 1 n exp t n/8π ) )..1.9) σa t ) 1 c 1 exp c t n) όπου c 1 = και c = 1/8π ). Η.1.9) είναι εντελώς ανάλογη με την ανισότητα του Θεωρήματος.1.13 αν εξαιρέσουμε τις ακριβείς τιμές των σταθερών c 1 και c.. Logarijmikˆ koðla mètra pijanìthtac.αʹ Ορισμοί και παραδείγματα Συμβολίζουμε με P n την κλάση όλων των μέτρων πιθανότητας στον R n τα οποία είναι απολύτως συνεχή ως προς το μέτρο Lebesgue. Η πυκνότητα ενός μέτρου µ P n συμβολίζεται με f µ. Εστω µ P n. Λέμε ότι το µ έχει βαρύκεντρο το x R n αν..1) x, θ dµx) = x, θ R n

. Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας 3 για κάθε θ S n 1. Ισοδύναμα, αν x = x dµx). R n Η υποκλάση CP n της P n αποτελείται από όλα τα κεντραρισμένα µ P n. Αυτά είναι τα μέτρα µ P n που έχουν βαρύκεντρο στην αρχή των αξόνων. Δηλαδή, µ CP n αν..) x, θ dµx) = R n για κάθε θ S n 1. Η υποκλάση SP n της P n αποτελείται από όλα τα άρτια συμμετρικά) μέτρα µ P n : το µ λέγεται άρτιο αν µa) = µ A) για κάθε σύνολο Borel A στον R n. Εστω f : R n [, ) μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση με πεπερασμένο, θετικό ολοκλήρωμα. Οπως στην περίπτωση των μέτρων, το βαρύκεντρο της f ορίζεται ως εξής: xfx) dx R barf) = R n fx) dx. n Ειδικότερα, η f έχει βαρύκεντρο ή κέντρο βάρους) στην αρχή των αξόνων αν R n x, θ fx) dx = για κάθε θ S n 1. Τότε λέμε και ότι η f είναι κεντραρισμένη. Ορισμός..1. Ενα μέτρο µ P n λέγεται λογαριθμικά κοίλο αν για κάθε ζεύγος συνόλων Borel A, B στον R n και για κάθε < λ < 1 ισχύει..3) µ1 λ)a + λb) µa) 1 λ µb) λ. Μια συνάρτηση f : R n [, ) λέγεται λογαριθμικά κοίλη αν..4) f1 λ)x + λy) fx) 1 λ fy) λ για κάθε x, y R n και για κάθε < λ < 1. Εστω f : R n [, ) μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση με R n fx) dx = 1 τότε λέμε ότι η f είναι λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα). Από την ανισότητα Prékopa-Leindler έπεται ότι το μέτρο µ που έχει πυκνότητα την f είναι λογαριθμικά κοίλο: για να το δούμε αυτό, θεωρούμε δύο Borel σύνολα A, B στον R n και τυχόν λ, 1). Τότε, οι συναρτήσεις w = 1 A f, g = 1 B f και h = 1 1 λ)a+λb f ικανοποιούν την h1 λ)x + λy) wx) 1 λ gy) λ

4 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα για κάθε x, y R n, συνεπώς, το Θεώρημα.1.3 δείχνει ότι ) 1 λ µ1 λ)a + λb) = h w R n R n = µa) 1 λ µb) λ. ) λ g R n Το επόμενο θεώρημα του Borell [11] δείχνει ότι, αντίστροφα, κάθε μη εκφυλισμένο λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n ανήκει στην κλάση P n και έχει λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα. Θεώρημα... Εστω µ ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n με την ιδιότητα µh) < 1 για κάθε υπερεπίπεδο H. Τότε, το µ είναι απολύτως συνεχές ως προς το μέτρο Lebesgue και έχει μια λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα f, δηλαδή dµx) = fx) dx. Παραδείγματα..3. α) Εστω K ένα κυρτό σώμα όγκου 1 στον R n. Ορίζουμε ένα μέτρο πιθανότητας µ K στον R n, θέτοντας µ K A) = K A = 1 K x)dx για κάθε Borel σύνολο A R n. Από την κυρτότητα του K έπεται ότι η 1 K είναι λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση, άρα το µ K είναι ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας. β) Για κάθε c >, η συνάρτηση f c x) = exp c x ) είναι άρτια και λογαριθμικά κοίλη στον R n : παρατηρήστε ότι η Ευκλείδεια νόρμα είναι κυρτή συνάρτηση, και η t ct είναι επίσης κυρτή. Συνεπώς, η σύνθεσή τους c x = log fx) είναι μια άρτια κυρτή συνάρτηση. Επεται ότι, για κάθε c >, το μέτρο γ r,c A) = 1 Ic) A A exp c x )dx όπου Ic) = R r exp c x )dx, είναι ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας. Ειδικότερα αυτό ισχύει για το τυπικό μέτρο του Gauss γ n..βʹ Ανισότητες για λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις Σε αυτήν την παράγραφο αποδεικνύουμε ανισότητες για λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις οι οποίες θα χρησιμοποιούνται συχνά στην συνέχεια. Δείχνουμε αρχικά ότι κάθε ολοκληρώσιμη λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση f : R n [, ) έχει πεπερασμένες ροπές κάθε τάξης. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι οι τιμές fx) της f φθίνουν εκθετικά καθώς x η απόδειξη που περιγράφουμε προέρχεται από το [4, Λήμμα.1]). Λήμμα..4. Εστω f : R n [, ) μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση με πεπερασμένο, θετικό ολοκλήρωμα. Τότε, υπάρχουν σταθερές A, B > ώστε fx) Ae B x για κάθε x R n. Ειδικότερα, η f έχει πεπερασμένες ροπές κάθε τάξης.

. Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας 5 Απόδειξη. Εφόσον f >, υπάρχει t, 1) ώστε το σύνολο C := {x : fx) > t} να έχει θετικό μέτρο Lebesgue. Παρατηρούμε ότι το C είναι κυρτό αφού η f είναι λογαριθμικά κοίλη, και έχει μη κενό εσωτερικό. Πράγματι, αφού το C έχει θετικό μέτρο, η αφινική του θήκη έχει διάσταση n, άρα το C περιέχει ένα αφινικά ανεξάρτητο σύνολο {x i } i n+1. Λόγω κυρτότητας, το C περιέχει το simplex S = conv{x i } i n+1. Ειδικότερα, το C έχει μη κενό εσωτερικό. Εστω x C και r > ώστε x +rb n C. Θεωρώντας την f 1 ) = f +x ) αν χρειασθεί, μπορούμε να υποθέσουμε ότι rb n C. Ορίζουμε K = {x : fx) > t/e}. Τότε, από την ανισότητα του Markov και τη μονοτονία του όγκου έχουμε < K <. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι το K είναι κυρτό, έχει πεπερασμένο όγκο και περιέχει την rb n, συμπεραίνουμε ότι το K είναι φραγμένο. Επομένως, υπάρχει R > ώστε K RB n. Τότε, για κάθε x > R έχουμε R x x / K, οπότε fr/ x x) t/e, ενώ r x x C, το οποίο αποδεικνύει ότι fr x x ) t. Επιπλέον, μπορούμε να γράψουμε R x = x R rx + R r x x r x x r x. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η f είναι λογαριθμικά κοίλη παίρνουμε: Επεται ότι t e f R x ) f r x ) x R x r R r fx) x r x x fx) te x r R r < e x /R, t x R x r fx) R r x r. για κάθε x > R. Από την άλλη πλευρά, για κάθε x RB n και για κάθε y x + r Bn έχουμε λόγω του ότι η f είναι λογαριθμικά κοίλη) fy) fx)fy x) t fx). Σε συνδυασμό με το γεγονός ότι η f είναι ολοκληρώσιμη, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει M > ώστε fx) M για κάθε x RB n. Τώρα είναι φανερό ότι μπορούμε να βρούμε δύο σταθερές A, B >, οι οποίες εξαρτώνται από την f, έτσι ώστε fx) Ae B x για κάθε x R n. Το δεύτερο αποτέλεσμα, το οποίο οφείλεται στον Fradelizi [17], δείχνει ότι η τιμή μιάς λογαριθμικά κοίλης συνάρτησης στο βαρύκεντρό της είναι συγκρίσιμη με την μέγιστη τιμή της με την σταθερά σύγκρισης να εξαρτάται - εκθετικά - μόνο από την διάσταση). Παρατηρήστε ότι αν η f υποτεθεί άρτια, τότε f) = f. Λήμμα..5. Εστω f : R n [, ) μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση με barf) =. Τότε, f) f e n f).

6 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα Απόδειξη. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η f είναι συνεχώς παραγωγίσιμη και ότι fy)dy = R n 1. Από την ανισότητα Jensen έχουμε )..5) log f yfy)dy fy) log fy)dy. R n R n Εστω x R n. Χρησιμοποιώντας την υπόθεση ότι η f είναι λογαριθμικά κοίλη, έχουμε..6) log fx) log fy) + x y, log f) y). Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της τελευταίας ανισότητας με fy), και στην συνέχεια ολοκληρώνοντας ως προς y, παίρνουμε..7) log fx) fy) log fy)dy + x y, fy) dy R n R n fy) log fy)dy n, R n όπου η τελευταία ανισότητα προκύπτει αν ολοκληρώσουμε κατά μέρη και χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι οι τιμές fy) της f φθίνουν εκθετικά καθώς y ). Συνδυάζοντας τις..5) και..7) βλέπουμε ότι log f) fy) log fy)dx log fx) n, R n για κάθε x R n. Παίρνοντας το supremum πάνω από όλα τα x έχουμε το ζητούμενο. Στην συνέχεια, αποδεικνύουμε κάποιες τεχνικές ανισότητες για λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Το πρώτο βασικό αποτέλεσμα είναι μια αντίστροφη ανισότητα Hölder. Η απόδειξη που παρουσιάζουμε εδώ γενικεύει το [3, Λήμμα.6] βλέπε επίσης [3] για ένα παρόμοιο αποτέλεσμα, όπου όμως γίνεται η επιπλέον υπόθεση ότι η f είναι φθίνουσα). Θεώρημα..6. Εστω f : [, ) [, ) μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση. Τότε, η συνάρτηση [ 1 ] 1/p..8) Gp) := fx)x p 1 dx f)γp) είναι φθίνουσα συνάρτηση του p στο [1, ). Απόδειξη. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι f) = 1, αλλιώς δουλεύουμε με την λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση f 1 = 1 f) f. Εστω p >. Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής y = cx βλέπουμε ότι για κάθε c > ισχύει e cx x p 1 dx = 1 c p e x x p 1 dx = Γp) c p.

. Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας 7 Συνεπώς, αν επιλέξουμε c p = 1 Gp) έχουμε..9) e cpx x p 1 dx = fx)x p 1 dx. Ειδικότερα, δεν μπορούμε να έχουμε e cpx < fx) για κάθε x, + ), διότι το σύνολο {x > : e cpx fx)} είναι μη κενό και Επεται ότι x := inf{x > : e cpx fx)} [, + )...1) e cpx < fx) για κάθε < x < x, ενώ αν x > x τότε μπορούμε να βρούμε y [x, x) {y > : e cpy μπορούμε να γράψουμε fy )} και..11) e cpy fy) fx) y x f) 1 y x = fx) y x χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η f είναι λογαριθμικά κοίλη, απ όπου έπεται ότι fx) e cpy ) x y = e c px. Ετσι, έχουμε..1) x ft)t p 1 dt x e cpt t p 1 dt για κάθε x > x. Από την άλλη πλευρά, από την..1) βλέπουμε ότι για x x ισχύει x ft)t p 1 dt x e cpt t p 1 dt, και έτσι, από την..9) έχουμε την..1) και για κάθε x x. Εστω q > p. Από το Θεώρημα Fubini και από την..9) έχουμε fx)x q 1 dx = = = x fx)x p 1 q p)t q p 1 dtdx q p)t q p 1 fx)x p 1 dxdt t q p)t q p 1 e cpx x p 1 dxdt e cpx x q 1 dx = Γq) c q. p t

8 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι Gq) = που ήταν το ζητούμενο. 1 Γq) ) 1/q fx)x q 1 dx 1 = Gp), c p Η επόμενη ανισότητα είναι στην αντίθετη κατεύθυνση βλέπε [3, Λήμμα.1]). Λήμμα..7. Εστω f : [, ) [, ) ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Τότε, η p..13) F p) := f είναι αύξουσα συνάρτηση του p στο [1, ). Απόδειξη. Παρατηρούμε ότι, για κάθε c >,..14) Επιλέγοντας c = F p) παίρνουμε..15) Για κάθε s [, 1] έχουμε..16) s t p 1 ft) dt ) 1/p x p 1 fcx) dx = c p x p 1 fx) dx. x p 1 ff p)x) dx = f p x p 1 ff p)x) dx οπότε για κάθε s συμπεραίνουμε ότι..17) ψ 1 s) := s s = x p 1 ff p)x) dx ψ s) := x p 1 f 1 [,1] x) dx. x p 1 f 1 [,1] x) dx, Χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά μέρη μπορούμε να γράψουμε x q 1 ff p)x) dx = = q p) q p) = = f. q x q p ψ 1 x)) dx x p 1 f 1 [,1] x) dx. x q p 1 ψ 1 x) dx x q p 1 ψ x) dx x q 1 f 1 [,1] x) dx

. Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας 9 Επεται ότι..18) που αποδεικνύει το ζητούμενο. 1 [F p)] q x q 1 fx) dx f, q η Απόδειξη. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι f = 1. Τότε, για < p < q και A > μπορούμε να γράψουμε: F q) q q = t q 1 ft) dt = A A t q 1 ft) dt + A t q 1 ft) dt t q 1 ft) dt + A q p t p 1 ft) dt q p F p)p = A p q p F p)p 1 A A q p p 1 q A 1 A q t p 1 t q 1 )fat) dt ). Μεγιστοποιώντας το δεξιό μέλος ως προς A επιλέγουμε A = F p) και έχουμε το συμπέρασμα. Το επόμενο αποτέλεσμα αυτής της παραγράφου είναι το λήμμα του Grünbaum [19]. Ο ισχυρισμός του είναι ότι αν µ είναι ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n με βαρύκεντρο την αρχή των αξόνων, τότε κάθε υπερεπίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ορίζει δύο ημιχώρους που έχουν περίπου το ίδιο μέτρο. Η απόδειξη που παρουσιάζουμε προέρχεται από το [3]. Λήμμα..8. Εστω µ ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n με βαρύκεντρο το. Τότε, 1 e µ{x : x, θ }) 1 1 e για κάθε θ S n 1. Απόδειξη. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι µ{x : x, θ > M}) = για κάποιον M >. Για την γενική περίπτωση προσεγγίζουμε το τυχόν λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας με μέτρα που έχουν αυτήν την ιδιότητα στην διεύθυνση του θ. Ορίζουμε Gt) = µ x, θ t). Η G είναι λογαριθμικά κοίλη, αύξουσα, και έχουμε Gt) = αν t M και Gt) = 1 αν t M. Αφού το µ έχει βαρύκεντρο το, ισχύει M M tg t)dt =,

3 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα και με ολοκλήρωση κατά μέρη βλέπουμε ότι M M Gt)dt = M. Θέλουμε να δείξουμε ότι G) 1 e. Παρατηρούμε ότι η log G είναι κυρτή συνάρτηση, συνεπώς Gt) G)e αt, όπου α = G )/G). Μπορούμε να επιλέξουμε τον M αρκετά μεγάλο ώστε 1/c < M. Τότε, Gt) G)e αt αν t 1/α και, προφανώς, Gt) 1 αν t > 1/α. Επεται ότι M = M M = eg) α Gt)dt + M 1 α, 1/α M G)e αt dt + 1dt 1/α και αυτό μας δίνει G) 1/e. Η ανισότητα του Lyapunov ισχυρίζεται ότι, για κάθε μετρήσιμη συνάρτηση f, η συνάρτηση p log f p p, < p <, είναι κυρτή. Θα χρειαστούμε μια αντίστροφη ανισότητα Lyapunov η οποία αποδείχτηκε από τον Borell στην εργασία [9]. Θεώρημα..9. Εστω f : [, ) R μια λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα. Η συνάρτηση είναι κοίλη στο [, ). Φp) = log x p fx) dx Γp + 1) Η απόδειξη θα βασιστεί σε μια σειρά από λήμματα. Λήμμα..1. Εστω g : [, 1] [, ) μια συνεχώς παραγωγίσιμη, γνησίως φθίνουσα κοίλη συνάρτηση με g) = 1 και g1) =. Σταθεροποιούμε p > και θεωρούμε την συνάρτηση Gs) = Τότε, η συνάρτηση G 1 n+p 1 s είναι κοίλη. t s) p g n 1 t)g t)dt, s [, 1].

. Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας 31 Απόδειξη. Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής t gt) βλέπουμε ότι Gs) = gs) t n 1 g 1 t) s) p dt. Εστω < s 1, s < 1 και λ 1, λ > με λ 1 + λ = 1. Για κάθε u [, 1] ορίζουμε x 1 u) και x u) μέσω των εξισώσεων gxiu)) t n 1 g 1 t) s i ) p dt = ugs i ), i = 1,. Τότε, οι x 1 και x είναι γνησίως φθίνουσες συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο [, 1], οι οποίες ικανοποιούν τις x i ) = 1, x i 1) = s i και..19) x i u) s i ) p g n 1 x i u))g x i u))x iu) = Gs i ), u 1. Αφού η g είναι κοίλη, έχουμε Gλ 1 s 1 + λ s ) λ1gs 1)+λ gs ) t n 1 g 1 t) λ 1 s 1 λ s ) p dt. Κάνοντας την αντικατάσταση t = λ 1 gx 1 u)) + λ gx u)), και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η g 1 είναι επίσης κοίλη, παίρνουμε Gλ 1 s 1 + λ s ) 1 λ 1 x 1 u) s 1 ) + λ x u) s )) p λ 1 gx 1 u)) + λ gx u))) n 1 λ 1 g x 1 u))x 1u) + λ g x u))x u)) du. Παρατηρώντας ότι η συνάρτηση a, b, c) a p b n 1 c) 1 n+p παίρνοντας υπ όψιν την..19), βλέπουμε ότι Gλ 1 s 1 + λ s ) = 1 απ όπου προκύπτει ο ισχυρισμός του λήμματος. για a, b, c ) είναι κοίλη και λ 1 Gs 1 ) 1/n+p) + λ Gs ) 1/n+p)) n+p du λ 1 Gs 1 ) 1/n+p) + λ Gs ) 1/n+p)) n+p, Λήμμα..11. Εστω g : [, 1), ) μια φθίνουσα, κοίλη συνάρτηση με g) = 1. Τότε, η συνάρτηση n ) 1 Ψp) = log i + p) s p 1 g n s)ds, p > είναι κοίλη. i=

3 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα Απόδειξη. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του Λήμματος..1. Για κάθε συνεχή συνάρτηση f : [, 1] R θέτουμε fa) := 1 s a 1 fs)ds, a > και θεωρούμε τα συναρτησοειδή J a, a >, που ορίζονται ως εξής: [J a f)]s) = 1 Γa) 1 s t s) a 1 ft)dt, s 1. Παρατηρούμε ότι η J ικανοποιεί την προσθετική ταυτότητα..) J a J b ) = J a+b, a, b >. Θέτουμε ϕ = g n και για κάθε p > θεωρούμε την ψ = Γp) ϕp)) 1 J p ϕ ). Χρησιμοποιώντας την..) ελέγχουμε ότι η ψ είναι πυκνότητα πιθανότητας στο [, 1]. Μπορούμε επίσης να ελέγξουμε ότι..1) ψa + 1) = Γp)Γa + 1) Γa + p) ϕa + p) ϕp) για κάθε a >, και ότι 1 s 1 ψt)dt = p ϕp)) 1 t s) p ϕ t)dt για κάθε s [, 1]. Από το Λήμμα..1 έπεται ότι η συνάρτηση 1 G s) = s s ) 1 n+p ψt)dt είναι κοίλη στο [, 1]. Σταθεροποιούμε a > και επιλέγουμε x > έτσι ώστε 1..) ψa + 1) = n + p) x s) a 1 s) n+p 1 ds. Τότε, 1 x G n+p s)ds a = 1 s ) n+p ds a. x

. Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας 33 Αφού η G είναι κοίλη και G ) = 1, υπάρχει < y < 1 ώστε G s) 1 s/x για κάθε s y και G s) 1 s/x για κάθε y s 1. Ορίζοντας G s) για s > 1, παίρνουμε x x G n+p s)ds a 1 s/x ) n+p ds a x για κάθε x x. Συνεπώς, 1 x x G n+p σs)ds a 1 s/x ) n+p σs)ds a για κάθε μη αρνητική, αύξουσα συνάρτηση σ : [, x ] R. Επιλέγοντας σs) = b a sb a, όπου b > a, έχουμε 1..3) ψb + 1) n + p) 1 s) n+p 1 x s) b ds. Απαλείφοντας το x από τις..) και..3) παίρνουμε..4) ψb + 1) n + p)bb + 1, n + p) ) 1 b για κάθε b > a >, όπου B, ) είναι η συνάρτηση Βήτα Bu, v) = 1 ) 1 a ψa + 1), n + p)ba + 1, n + p) t u 1 1 t) v 1 dt, u, v >. Θέτοντας p 1 = p, p = p + a και p 3 = p + b, από τις..1) και..4) έχουμε n p3 p1 n ) p3 p i + p ) φp n p p1 )) i + p 1 ) φp 1 ) i + p 3 ) φp 3 )). i= i= Αφού οι < p 1 < p < p 3 ήταν τυχόντες, η τελευταία ανισότητα δείχνει ότι η Ψ είναι κοίλη. Λήμμα..1. Εστω f μια μη αρνητική κοίλη συνάρτηση, ορισμένη σε ένα ανοικτό, κυρτό και φραγμένο υποσύνολο Ω του R n. Τότε, η συνάρτηση Ψ f p) = είναι λογαριθμικά κοίλη. p + 1) p + n) n! Ω i= fx) p dx, p